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sábado, 12 de diciembre de 2009

Los dos cubos de arena

Supongamos que tenemos dos cubos de arena, un cubo A y un cubo B. El cubo A contiene un determinado volumen de arena blanca pura, y el cubo B contiene exactamente el mismo volumen de arena negro puro.

Supongamos ahora que tomamos una cucharadita de arena del cubo A, la vertermos en el cubo B, y removemos a fondo el cubo B. Luego tomamos una cucharadita de arena del cubo B y la vertemos nuevamente en el cubo A.

Después de hacer esto, ¿tendrá el cubo A más arena negra que el cubo B arena blanca? O dicho de otro modo, ¿cual de los dos cubos tendrá más impurezas en el?


Dentro de unas horas pondré el enlace original, que no la solución, en los comentarios.

Actualizado en los comentarios. (13/12/09)

Actualizado en los comentarios (15/12/09).

Como curiosidad, estos eran los resultados antes de la última actualización con 90 votos registrados.

- Opción A: 40.00 %
- Opción B: 8.89 %
- Opción C: 51.11 %

12 comentarios:

  1. A ver.
    Etapa 1= A:100% B:100%
    Etapa 2= A:100% + 1%imp. B:99%
    Etapa 3= A 99,5%+0,5%imp B:99,5%+0,5%imp
    Mismas impurezas.
    (Tomo en cuenta 1% como una cucharada, ojo, y resto partes iguales de la impureza y de la original en la ultima etapa porque estan mezcladas.

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  2. Me encanta!!
    Tendrán la misma cantidad de impurezas!
    Y añado que en realidad da igual cuánto de arena blanca o negra cojas en la segunda cucharada:
    - si es toda de arena blanca, quedan los dos cubos intactos e iguales, como al principio
    - si es toda de arena negra, quedan los dos cubos igual de impuros, con una cucharada del otro cubo
    - y si es mitad y mitad, pues ya sabes, blanco y en cubo!

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  3. Al final los dos vuelven a tener la misma cantidad de arena y por tanto lo
    que le sobre a uno de los cubos es exactamente lo que le falta al otro

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  4. Recordad que en la segunda cucharada, arena de la que se se pasó al cubo B en la primera cuchara retorna al cubo A. De tal forma, después de eso, el cubo A tendrá esa cantidad menos de impurezas del B, aunque sea un porcentaje muy pequeño.

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  5. este "pasatiempo" tambien se suele hacer con agua y vino, por ejemplo , y el resultado, por muchas vueltas que le deis, es que habra la misma cantidad de A en B que de B en A, me costo mucho entenderlo, pero es de una logica aplastante y humillante

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  6. supongamos cubos de 100cl y cucharadas de 5cl

    1. Echo 1 cucharade del A al B. Me queda
    - A - 95cl blanco (100%)
    - B - 100cl negro + 5cl blanco (95,24% puro)

    2. echo 1 cucharade de B a A (en 5cl al 95,24% puro caben 4,76 negro + 0,24cl blanco)
    - A - 95,24 blanco + 4.76 negro
    - B - 95,24 negro + 4.76 blanco

    amazing

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  7. Sin razonar y hacer calculos hubiera dicho que A, pero tras pensarlo y calcularlo numericamente, tendran la misma cantidad de impurezas.

    salu2

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  8. Este puzzle está sacado de Mixing white sand with black sand, donde nos dan dos posibles argumentos que curiosamente coinciden de momento con las dos opciones más votadas. ¿Cual es la correcta, y cual la errónea?

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  9. Para simplificar este proceso, es más sencillo definir cantidades para cada cubo de arena. Digamos que cada cubo es de 1 litro. Del mismo modo es necesario definir la cantidad de arena a la que equivale una cucharada, digamos 1/100 = 0.01 de litro. Es importante considerar que la cucharada es de medida constante, no un porcentaje de la arena total del cubo. Finalmente, nombramos 'b' a la arena blanca y 'n' a la arena negra. Partiendo de esto tenemos inicialmente:
    Cubo A: 1b
    Cubo B: 1n

    Después de la primera transferencia, tenemos:
    Cubo A: (1 - 0.01)b
    Cubo B: 1n + 0.01b

    De este modo, una cucharadita del cubo B será 0.01(1n + 0.01b)/1.01 ¿Cierto? (Considera que (1n + 0.01b)/1.01 se divide entre 1.01 porque debe ser unitario, de modo que el volumen de la cucharadita siga siendo 0.01 ).
    Entonces, después de la segunda transferencia tenemos:
    Cubo A: (1 - 0.01)b + 0.01(1n + 0.01b)/1.01 = 0.990099b + 9.90099e-3n
    Cubo B: 1n + 0.01b - 0.01(1n + 0.01b)/1.01 = 0.990099n + 9.90099e-3b

    Como se puede ver, la cantidad de impurezas es igual en ambos cubos. El método se comprueba fácilmente. Si consideramos a = n (ambos arena), ambos cubos quedan con contenido 1.0000.

    Creo que lo importante del procedimiento es considerar que el volumen de la cuchara debe ser constante y no un porcentaje del volumen actual del cubo.

    Saludos, interesante puzzle !

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  10. Es sencillo, pero me ha encantado toparme con esta entrada! :)

    Como bien indican en algunos comentarios anteriores, la solución
    correcta es que los dos cubos tendrán la misma cantidad de impurezas.
    Es inmediato de ver intuitivamente, pero desglosando paramétricamente
    el problema, paso por paso:

    [denomino: Va=volumen total de material A, Vb=volumen total de
    material B, Ca=volumen de cucharada de material A, Cb=volumen de
    cucharada de material B]

    1) Estado inicial.

    -Tenemos en el cubo A: Va
    -Tenemos en el cubo B: Vb

    2) Vertemos cucharada de A en B.

    -Tenemos en el cubo A: Va - Ca
    -Tenemos en el cubo B: Vb + Ca

    3) Vertemos cucharada de la mezcla del cubo B en el cubo A. Obsérvese
    que el volumen de una cucharada, lleva una fracción de su volumen en
    material A y otra fracción en material B.

    -Tenemos en el cubo A: Va - Ca + Cb*Vb/(Vb+Ca) + Ca*Ca/(Vb+Ca) [#]
    -Tenemos en el cubo B: Vb + Ca - Cb*Vb/(Vb+Ca) + Ca*Ca/(Vb+Ca) [##]

    4.1) Examinando los términos de la correspondiente expresión [#],
    veamos cuánto material B hay en el cubo A:

    Cb*Vb/(Vb+Ca)

    4.2) Análogamente [##], veamos cuánto material A hay en el cubo B:

    Ca*(1 - Ca/(Vb+Ca)) = Ca*Vb/(Vb+Ca)

    Vemos, por tanto, que en los dos cubos hay la misma cantidad de
    "impureza", que es la fracción Vb/(Vb+Ca) de una cucharada, q.e.d.

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  11. Existen varias versiones de este interesante problema que desafía nuestro sentido común y nos puede llevar a engaño, pero que si nos paramos a pensarlo un instante podemos resolver de una manera fácil.

    Para ilustrar la solución copio y pego la versión que aparece en "Matemática, ¿estas ahí? Episodio 2" de Adrian Paenza, y en concreto una de las posibles formas de razonar el problema que aparecen en el libro:

    "Vamos a suponer que hay bolitas de distintos colores en cada vaso.

    Supongamos que en el vaso V hay 1.000 bolitas verdes y en el vaso A, 1.000 bolitas azules. Tomamos una cuchara y sacamos del vaso V, 30 bolitas (verdes) y las pasamos al vaso A (en donde están las azules). Ahora, en el vaso V quedan 970 bolitas (todas verdes) y en el vaso A, 1.030 bolitas (1.000 azules y 30 verdes que acabo de pasar con la cuchara). Mezclamos las bolitas del vaso A. En su mayoría son azules, pero ahora hay también 30 bolitas verdes.

    Para replicar lo que hacíamos con el agua y el vino, volvemos a usar la cuchara. La hundimos en el vaso A, donde están las 1.030 bolitas, y a los efectos de avanzar con el pensamiento, vamos a suponer que nos llevamos 27 azules y 3 de las verdes que habían pasado antes (estos números son arbitrarios).

    Volvemos a depositar estas 30 bolitas en el vaso V. Por favor, tome nota de que en el vaso A quedaron ahora 973 azules y 27 verdes. Ahora, al haber pasado las 30 bolitas del vaso A al V, los dos tienen la misma cantidad de bolitas: 1.000.

    En el vaso V quedaron 970 bolitas verdes que nunca fueron tocadas, más 27 azules que deposité la segunda vez que pasé la cuchara, más 3 verdes que volvieron. O sea, hay 973 verdes y 27 azules.

    CONCLUSIONES:

    a) en ambos vasos hay la misma cantidad de bolitas;
    b) en el vaso V, hay 973 verdes y 27 azules;
    c) en el vaso A, hay 973 azules y 27 verdes.

    Como ve, hay la misma cantidad de verdes entre las azules que de azules entre las verdes. O, si se quiere, hay la misma cantidad de agua en el vino que de vino en el agua."

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  12. Al haber el mismo volumen en ambos cubos tanto al inicio como al final, la arena blanca que al final no esté en A ha de haber sido reemplazada por la misma cantidad de arena negra. Y esta arena negra que está en A ha sido reemplazada por la misma cantidad de arena blanca.

    En formulicas sería algo así, a lo rápido y mal.

    Al inicio

    VA = VB
    VA = n Bl
    VB = n Ne

    Quitamos x de A, toda blancas y las añadimos a B
    Quitamos x de B (y blancas + z negras) y las añadimos a A.
    Al final

    VA = VB
    VA = n Bl - x Bl + (y Bl + z Ne)
    VB = n Ne + x Bl - (y Bl + z Ne)
    y + z = x

    con lo que nos queda

    VA= (n - z) Bl + z Ne
    VB= (n - z) Ne + z Bl


    Ala.

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